文部科学省『教育用コンテンツ開発事業』
数学イメージ動画集
3年;多項式の計算/図形で考えよう (x+a)(x+b)
$(x+a)(x+b)$ の展開を,2辺がそれぞれ $(x+a)$ と $(x+b)$ の長方形で考えます。
この長方形は,$x^2$ の正方形に,$ax$ と $bx$,$ab$ の3つの長方形を加えることで求められ,$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ となります。
実施時期 3年生1学期(4月)
単元項目 1章1節 多項式の計算(p.14)
配当時数 7時間
指導内容 展開の公式1と
それを使った式の展開
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このコンテンツを用いた授業例・指導案
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実施時期 3年生1学期(4月)
単元項目 1章1節 多項式の計算(p.14)
配当時数 7時間(本時はその3時間目)
単元目標
  • 公式を用いて,複雑な式の展開や因数分解を行ったり,おきかえによって複雑な計算が簡単にできることを活用する
  • 展開と因数分解の関係を理解し,公式の有用性や,1つの多項式を1つの文字におきかえることの便利さなどに気づく
  • 公式を使って,展開・因数分解をしたり,素因数分解とそれを用いて約数を調べることが出来たりする
  • 式の展開・因数分解,素因数分解の意味や文字を用いて数や図形の性質を説明する方法を理解する
本時の目標
  • 多項式 $(x+a)\,(x+b)$ を展開することの意味を理解し,展開公式を使って,式を能率的に扱うことができる
実施時期 3年生1学期(4月)
単元項目 1章1節 多項式の計算(p.14)
配当時数 7時間(本時はその3時間目)
学習活動
1
展開公式 $(x+a)\,(x+b)$ を導く
縦 $(x+a)$,横 $(x+b)$ の長方形の面積を求めよう 先生アイコン
$(x+a)\,(x+b)=x^2+ax+bx+ab$ 生徒アイコン
縦 $(x+2)$,横 $(x+3)$の長方形の面積を求めよう 先生アイコン
\begin{align*} (x+2)\,(x+3) & = x^2+2x+3x+6 \\ & = x^2+5x+6 \end{align*} 生徒アイコン
そうだね,同類項をまとめるといいね。すると,最初の式はどうなるかな 先生アイコン
\begin{align*} (x+a)\,(x+b) & = x^2+ax+bx+ab \\ & = x^2+(a+b)x+ab \end{align*} 生徒アイコン
これを図で説明できるかな 先生アイコン
ここが $x^2$ で,ここが $ax$ …… 生徒アイコン
それでは映像で解説を見てみましょう 先生アイコン
  • 形式的な操作方法として公式を認識するのではなく,図形的な意味を考察することで理解を深める
  • 公式の活用場面で同類項をまとめる必要性があることから,公式が導かれることを理解させる
2
$a$,$b$ が正の数の場合の展開公式 $(x+a)\,(x+b)$ の利用法を理解する
$(x+2)\,(x+3)=x^2+5x+6$ となりますが,$x$ の係数の 5 と定数 6 は,1次式の定数 2,3 とどのような関係があるかな 先生アイコン
和 $(2+3)$ と積 $(2×3)$ 生徒アイコン
では,$a=4$,$b=5$ のときは,どうなるかな 先生アイコン
$(x+4)\,(x+5)=x^2+9x+20$ 生徒アイコン
では,2つの練習問題を解いてみよう 先生アイコン
  • 1次式の定数の和と積がポイントとなる公式の構造に着目させ,単に公式を暗記するのではなく,構造的に理解するようにする
  • 習熟を図るために複数の練習問題を用意し,2つの課題を終了した生徒は自分のペースで学習が進められるようにする
3
$a$,$b$ に負の数を含むの場合の展開公式 $(x+a)\,(x+b)$ の利用法を理解する
$a=5$,$b=-3$ のときは,どうなるかな 先生アイコン
$5+(-3)=2$,$5\times(-3)=-15$ だから,
$(x+5)\,(x-3)=x^2+2x-15$ 生徒アイコン
では,4つの練習問題を解いてみよう(練習問題を解く) 先生アイコン
  • 習熟を図るために,複数の練習問題を用意し,4つの課題を終了した生徒は自分のペースで学習が進められるようにする
4
本時のまとめを行い,展開公式 $(x+a)\,(x+b)$ の理解を深める
  • 画で図形的に意味を確認したり,形式的な操作方法を確認し,理解を深める
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