高専・大学 新 数学シリーズ 教科書 新微分積分I

教科書 新微分積分I
定価
1,600円+税
A5判・上製本 / 2色 / 172頁
ISBN
978-4-477-02642-8

978-4-477-02642-8

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著者
新井一道(小山工業高等専門学校名誉教授),碓氷久(群馬工業高等専門学校教授),齋藤純一(都立産業技術高等専門学校准教授),高遠節夫(東邦大学理学部訪問教授),前田善文(長野工業高等専門学校名誉教授),山下哲(木更津工業高等専門学校教授)
校閲
岡田章三(岐阜工業高等専門学校教授),蔵岡誉司(米子工業高等専門学校教授),佐藤敏行(元仙台高等専門学校教授),高橋正郎(久留米工業高等専門学校准教授),坪川武弘(福井工業高等専門学校名誉教授),成田章(秋田工業高等専門学校名誉教授),西垣誠一(沼津工業高等専門学校教授),松宮篤(明石工業高等専門学校教授),村上享(松江工業高等専門学校教授),涌田和芳(長岡工業高等専門学校名誉教授)
  • 「新微分積分I」では,「新基礎数学」で学習した1変数関数の微分法と積分法に関する基礎を学習します。微分積分は,工学や自然科学に現れる現象を解析するための重要な道具です。本書では「新基礎数学」とのつながりを大切にしながら,その道具となる微分積分を早めに使いこなせるようになることを目指しました。

目次

1章 微分法
関数の極限と導関数/いろいろな関数の導関数
2章 微分の応用
関数の変動/いろいろな応用
3章 積分法
不定積分と定積分/積分の計算
4章 積分の応用
面積・曲線の長さ・体積/いろいろな応用

巻頭に設けた「これまで学んだ関数の復習」

べき関数,三角関数,指数関数,対数関数などは微分積分を学習する際にもよく出てきます。これらの関数については基礎数学で学習していますが,忘れている学生も少なくありません。そこで本書では1章1節の冒頭で,こうした関数について簡単に復習できるページを設けました。

1章 微分法

微分積分では,基礎数学で学習してきた多くの関数が頻繁に登場します。関数の性質について簡単に復習しておくと,後の学習に有効です。復習に時間がかりそうな場合は,適宜参照するなどしてご活用下さい。
新微分積分I 1章 微分法 p1_2
新微分積分I 1章 微分法 p4_5 新微分積分I 1章 微分法 p4_5_解説

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導関数の定義に3つの定義式を提示

微分係数の定義との関連で,導関数の定義式では3つの定義式を提示しました。
$f'(x)=\displaystyle \lim_{X \to x} \frac{f(X)-f(x)}{X-x}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{\varDelta x\to 0} \frac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}$
2番目や3番目の式は従来通り扱ってきた式ですが,今回1番目の式を新たに取り入れました。2番目や3番目の定義式では,$x+h$ や $x+\varDelta x$ を $f$ の式に代入することになりますが,式の代入や展開などがスムーズにいかないことがあります。そのような場合1番目の式も有効です。これを使うことで説明や計算が簡単になるところがあり,定義のつまずきを軽減できます。

1章 微分法

新微分積分I 1章 微分法 p12_13 新微分積分I 1章 微分法 p12_13_解説

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ロピタルの定理の配置を工夫

ロピタルの定理はとても有用な定理ですが,その証明にはいくつかの定理を理解していく必要があり,実際使ってみるまでに時間がかかります。また,すべての場合の証明を本文で取り上げることはできません。これまではロルの定理,平均値の定理,コーシーの平均値を説明してから,ロピタルの定理の中でも $x \rightarrow a$ のとき $\dfrac{0}{0}$ となる不定形の場合を証明してきました。新微分積分Iではそうした点を見直して,ロピタルの定理に慣れることを重視した構成にしています。ロピタルの定理を早めに使えるようにして,詳しい証明については章の最後で扱うようにしました。

2章 微分の応用

新微分積分I 2章 微分の応用 p55_56 新微分積分I 2章 微分の応用 p55_56_解説

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積分法の導入は不定積分の基本事項から

積分の導入を不定積分と定積分のどちらから始めるかは悩ましいところです。積分の意味を伝えようとすれば,定積分のほうがよいでしょうし,歴史的にもそうした流れになっています。しかし区分求積法による定積分の定義は学生にとって理解しにくいところで,微分とのつながりからすれば,不定積分のほうが入りやすいと考えられます。一方,はじめに不定積分だけを長く学んでいると,積分の意味がとらえにくくなる嫌いもあります。そこで新微分積分Iでは,学生の学びやすさを考慮して,最初に不定積分の基本事項を記述し,定積分の意味や基本定理と続けて,その後で再び不定積分と定積分の公式を扱う構成にしました。

3章 積分法

新微分積分I 3章 積分法 p78_79 新微分積分I 3章 積分法 p78_79_解説

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巻末の重要事項のまとめ

本書に関連する重要事項を巻末にまとめました。2年以降の教科書の巻末に設けています。関連ある内容を一箇所にまとめることで,全体像が把握しやすくなりました。参照ページがあるので振り返りも可能です。学生の自習の際にもお使いいただけます。

付録

新微分積分I 付録 p162_163 新微分積分I 付録 p162_163_解説

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積分と積分の応用に関する重要事項です。積分では多くの公式が出てくるので,確認や復習をする際に便利です。
新微分積分I 付録 p164_165

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