キログラム｜単位プラス

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国際単位系における定義：

プランク定数 $h$ を 6.62607015 $\times$ 10 $^{-34}$ J•s（s $^{-1}$ •m $^2$ •kg に等しい）と定めることによって設定される質量の単位

古い定義：

国際キログラム原器の質量

由来：

1 L の水の質量

国際キログラム原器: 国際キログラム原器 International Prototype Kilogram は，1879年につくられた白金 90 % ，イリジウム 10 % の合金でできた直径と高さが 39.17 mm の円柱形の分銅です。完全な円柱形ではなく，角が丸められています。

国際キログラム原器は世界に１つしかなく，フランスの国際度量衡局（こくさいどりょうこうきょく）に保存されています。

各国にはこの国際キログラム原器の複製が配布されていて，日本のキログラム原器は産業技術総合研究所が管理しています。

国際キログラム原器に使われている白金イリジウム合金は，白金 Pt のもつ化学変化しにくい性質はそのままに，白金よりも磨耗しづらい特徴をもっています。

キログラム原器を円柱に見立てて，密度を求めてみましょう。

キログラム原器の体積 $V$ は，底面の半径 $r$ と高さ $h$ を使って $V=\pi r^2 h$ で求められます。
質量は 1 kg ですから，密度 $\rho$ は次のようになります。

$\begin{align} \rho &= \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 h}\\ &= \frac{ 1 \, \text{kg} }{ \pi \times ( \frac{39.17 \, \text{mm}}{2})^2 \times 39.17 \, \text{mm}}\\ &= 0.00002118602127 \, \text{kg}/\text{mm}^3\\ &= 21.2 \, \text{g}/\text{cm}^3\\ \end{align}$

鉄の密度が 7.87 g/cm $^3$ ，金の密度が 19.30 g/cm $^3$ ですから，とても大きいことがわかります。

密度が大きいほど円柱の表面積が小さくて済むので，表面で反応が起こる危険を下げられます。

また，キログラム原器は，２重のガラス容器によって真空中に保存されています。

しかし，それほど厳重な管理をしても，気体が表面に吸着することなどによって，１年に 1 µg（0.0000001 %）ほど質量が増加してしまいます。

こうした問題を改めるため，人工物に依存しない定義として，プランク定数 $h$ を使った定義が2019年5月20日より用いられることになりました。

プランク定数: 2019年5月20日から，kg はプランク定数を用いて定義されるようになりました。

プランク定数は，ドイツの物理学者マックス・プランク（1858年〜1947年）に因んだ定数です。

[Public domain]

プランクは，1900年，光を放出する粒子のエネルギーはある最小単位の整数倍の値しかとらないというプランクの法則を提唱しました。この関係は，エネルギー素量 $\epsilon$ ，光子の振動数 $\nu$ と定数 $h$ から次のように表されます。

$\epsilon = h \nu$

この $h$ がプランク定数です。

また，アインシュタインは，特殊相対性理論の中で，質量とエネルギーは同等で，静止している物体のエネルギー $E$ は，質量 $m$ と真空中の光速 $c$ から，次のような関係があることを示しました。

$E = m c^2$

プランクの法則と $E = mc^2$ から，式を変形してみます。

[Public domain]

$\begin{align*} E = mc^2 &= h \nu\\ m &= h \frac{\nu}{c^2}\\ \end{align*}$

ここで，光速 $c$ は 299792458 m/s，プランク定数 $h$ は 6.62607015 $\times$ 10 $^{-34}$ J•s なので，質量 1 kg のときの振動数 $\nu$ を求めると，次のようになります。

$\begin{align*} m &= h \frac{\nu}{c^2}\\ \nu &= m \frac{c^2}{h}\\ &= 1 \times \frac{ (299792458 \,\text{m/s})^2 }{ 6.62607015 \times 10^{-34} \,\text{J} \cdot \text{s} }\\ &= \frac{ (299792458)^2 }{ 6.62607015 \times 10^{-34} }\,\text{s}^{-1}\\ &= \frac{ (299792458)^2 }{ 6.62607015 \times 10^{-34} }\,\text{Hz}\\ \end{align*}$

つまり，1 kg は，周波数が $\cfrac{ (299792458)^2 }{ 6.62607015 \times 10^{-34} }$ Hz の光子のエネルギーと等価な質量と言い換えることができます。

$1\text{ kg}$ ってどのくらい？: $1\text{ L}$ の牛乳パックが，およそ $1\text{ kg}$ です。
牛乳は比重（水の密度に対する比）が $1.032（15$ ℃ $）$ です。水の密度は， $15$ ℃ のとき $999.138\text{ kg/m}^3(=0.999 138\text{ kg/L})$ なので， $1\text{ L}$ の牛乳の質量 $m$ は，次のように求められます。

$\begin{align*} m & = 1.032 × 0.999138\\ & \fallingdotseq 1.031\text{ kg} \end{align*}$