ラジアン｜単位プラス

定義：

円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度

＝単位円（半径１の円）で，長さが１の弧に対する中心角

単位記号を書かない単位: rad は，半径という意味のラテン語 radius に由来する単位で，高校以降で登場しますが，あまり rad の記号を目にすることはありません。

半径 $r$ の円に弧 $l$ があるとき，この弧に対応する中心角 $\theta$ を rad で求めてみます。

定義より，1 rad は，半径の長さと等しい長さの弧に対する中心角なので， $\theta$ = $\cfrac{l}{r}$ rad となります。
ここで， $l$ も $r$ も長さなので，分子と分母の単位が打ち消しあってなくなります。このため，記号を明示する必要がある場合をのぞいて，ふつう rad は省略して表記します。

例えば，「角度が 90°」なら，「角度が $\cfrac{\pi}{2}$ rad」とはせず，単に「角度が $\cfrac{\pi}{2}$ 」と書きます。

rad と ° の関係

円周の長さは，直径×円周率で求められるので，半径 $r$ の円の円周 $l$ は， $2\pi r$ となります。定義から，これを半径の $r$ で割った $2\pi$ が，１周分の角度となります。

2 π rad = 360^{\circ}

$2\pi \,\text{rad} = 360^{\circ}$

いくつかの代表的な角度について rad の値を表にしました。

度 °	0	30	45	60	90	120	135	150	180	270	360
ラジアン rad	0	$\cfrac{\pi}{6}$	$\cfrac{\pi}{4}$	$\cfrac{\pi}{3}$	$\cfrac{\pi}{2}$	$\cfrac{2\pi}{3}$	$\cfrac{3\pi}{4}$	$\cfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\cfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

度〔°〕	ラジアン〔rad〕
0	0
30	$\cfrac{\pi}{6}$
45	$\cfrac{\pi}{4}$
60	$\cfrac{\pi}{3}$
90	$\cfrac{\pi}{2}$
120	$\cfrac{2\pi}{3}$
135	$\cfrac{3\pi}{4}$
150	$\cfrac{5\pi}{6}$
180	$\pi$
270	$\cfrac{3\pi}{2}$
360	$2\pi$

このように rad は，ふつう $\pi$ を無理に計算せずに分数の形のままで扱います。

rad を使う利点: rad による角度の表記は，弧の長さによって角度を示すことから弧度法といいます。これに対して，小学校から親しんで来た１周を 360° とする単位は，度数法といいます。

弧度法と度数法をいくつかの場面で比較してみます。

①おうぎ形の弧の長さ

半径 $r$ ，中心角 $\theta$ のおうぎ形の弧の長さ $l$ を求めてみましょう。
おうぎ形の弧の長さは，円周の長さに $\cfrac{\text{中心角}}{１周分の角}$ をかけて求められます。

$\begin{align} \text{度数法：} l &= 2 \pi r \times \frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\\ &= \frac{\pi r \theta}{180}\\ \text{弧度法：} l &= 2 \pi r \times \frac{\theta}{2\pi}\\ &= r \theta\\ \end{align}$

②おうぎ形の面積

今度は，面積 $S$ を求めてみましょう。
おうぎ形の面積は，円の面積に $\cfrac{\text{中心角}}{１周分の角}$ をかけて求められます。

$\begin{align} \text{度数法：} S &= \pi r^2 \times \frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\\ &= \frac{\pi r^2 \theta}{360}\\ \text{弧度法：} S &= \pi r^2 \times \frac{\theta}{2 \pi}\\ &= \frac{r^2 \theta}{2}\\ \end{align}$

弧度法を使うと，おうぎ形についての公式がかなりスッキリしますね。

③三角関数

rad が威力を発揮するのは，高校で学習する三角関数（ $\sin \theta$ ， $\cos \theta$ ， $\tan \theta$ ）を使った計算をするときです。

高校の数学では，関数の極限を求めたり，微分・積分という計算をしたりします。なかでも，三角関数の極限を考えるときには， $\cfrac{\sin \theta}{\theta}$ という形が鍵になります。
さらに，三角関数を微分するときは， $\cfrac{\sin \theta}{\theta}$ の極限（ $\displaystyle \lim_{\theta \to 0 }\cfrac{\sin \theta}{\theta}$ 　の値)を使った計算が必要になります。
（詳しい計算は高校数学の学習に任せることにして…）
三角関数の極限と微分の計算に使う重要な公式を，それぞれ度数法と弧度法で表すと，次のようになります。

$\begin{alignat}{2} \text{度数法　} && \text{極限：}&& \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} &= \frac{\pi}{180}\\ && \text{微分：}&& (\sin \theta)' &= \frac{\pi}{180} \cos \theta\\ &&&& (\cos \theta)' &= - \frac{\pi}{180} \sin \theta\\ \text{弧度法　} && \text{極限：}&& \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} &= 1\\ && \text{微分：}&& (\sin \theta)' &= \cos \theta\\ &&&& (\cos \theta)' &= - \sin \theta\\ \end{alignat}$

弧度法の公式の方が，余計な係数がなくスッキリしていて，使いやすそうですね。

1 rad ってどのくらい？

春分・秋分の日の長崎市（と熊本市）における太陽の南中高度が，約 1 rad です。

春分・秋分では，赤道において太陽が天頂を通過する（南中高度が 90° ＝ $\cfrac{\pi}{2}$ rad になる）ので，北緯 $\theta$ の地点における春分・秋分の日の南中高度は $\cfrac{\pi}{2} - \theta$ となります。

よって，南中高度が 1 rad となる緯度は，次のように求められます。

$\begin{align} \frac{\pi}{2} - \theta &= 1 \,\text{rad}\\ \theta &= \frac{\pi}{2} - 1 \,\text{rad}\\ \text{これを度}&\text{数法の角度に直すと}\\ \theta &= (\frac{\pi}{2} - 1 ) \times \frac{360^\circ}{2\pi}\\ &= 32.7042\ldots^\circ\\ \end{align}$

北緯 32.7° の地点を日本地図から探すと，長崎市が近そうです。

国立天文台の各地のこよみで調べてみると，長崎の緯度は 32.7500°，春分・秋分の日の南中高度はいずれも 57.3° とあります。これを rad に直すと，次のようになります。

$\begin{align} 2 \pi : x &= 360^\circ : 57.3^\circ\\ x &= \frac{2 \pi \times 57.3^\circ}{360^\circ}\\ &= 1.000073661\ldots \,\text{rad}\\ \end{align}$

天文台のデータから，ほかの都市で南中高度が約 1 rad となる日にちを調べると，次のようになりました。

南中高度が 1 rad となる日（2019年秋）

都市	日	時刻	南中高度
札幌（北海道）	8月27日	11:36	57.1°
根室（北海道）	8月26日	11:20	57.2°
青森（青森県）	9月2日	11:37	57.3°
秋田（秋田県）	9月5日	11:38	57.3°
盛岡（岩手県）	9月5日	11:34	57.3°
仙台（宮城県）	9月9日	11:34	57.2°
山形（山形県）	9月9日	11:36	57.2°
福島（福島県）	9月10日	11:35	57.3°
水戸（茨城県）	9月14日	11:34	57.2°
宇都宮（栃木県）	9月13日	11:37	57.4°
前橋（群馬県）	9月14日	11:40	57.2°
さいたま（埼玉県）	9月15日	11:37	57.3°
千葉（千葉県）	9月16日	11:35	57.2°
東京（東京都）	9月16日	11:36	57.1°
横浜（神奈川県）	9月16日	11:36	57.4°
小笠原（東京都）	10月8日	11:19	57.2°
新潟（新潟県）	9月10日	11:41	57.2°
富山（富山県）	9月13日	11:47	57.3°
金沢（石川県）	9月13日	11:50	57.4°
福井（福井県）	9月15日	11:51	57.1°
甲府（山梨県）	9月16日	11:41	57.1°
長野（長野県）	9月13日	11:43	57.3°
岐阜（岐阜県）	9月16日	11:48	57.4°
静岡（静岡県）	9月18日	11:41	57.1°
名古屋（愛知県）	9月17日	11:47	57.3°

都市	日	時刻	南中高度
津（三重県）	9月18日	11:48	57.3°
大津（滋賀県）	9月17日	11:51	57.4°
京都（京都府）	9月17日	11:52	57.4°
大阪（大阪府）	9月18日	11:52	57.3°
神戸（兵庫県）	9月18日	11:54	57.3°
奈良（奈良県）	9月18日	11:51	57.3°
和歌山（和歌山県）	9月19日	11:53	57.4°
鳥取（鳥取県）	9月16日	11:58	57.3°
松江（島根県）	9月16日	12:03	57.3°
岡山（岡山県）	9月18日	11:59	57.4°
広島（広島県）	9月19日	12:04	57.3°
山口（山口県）	9月20日	12:08	57.1°
徳島（徳島県）	9月20日	11:55	57.2°
高松（香川県）	9月19日	11:58	57.3°
松山（愛媛県）	9月20日	12:03	57.4°
高知（高知県）	9月21日	11:59	57.3°
福岡（福岡県）	9月21日	12:12	57.3°
佐賀（佐賀県）	9月22日	12:12	57.2°
長崎（長崎県）	9月23日	12:13	57.3°
熊本（熊本県）	9月23日	12:10	57.3°
大分（大分県）	9月22日	12:06	57.2°
宮崎（宮崎県）	9月25日	12:06	57.4°
鹿児島（鹿児島県）	9月26日	12:09	57.3°
那覇（沖縄県）	10月10日	12:16	57.3°

単位の換算

空欄に数値入力することで、単位を換算することができます。

$\text{ rad}$

$\text{°}$