２乗すると負の数になる数!? 

　16世紀，イタリアの数学者カルダノ（1501〜1576）は，方程式の解法について研究しました。カルダノは，自身の著書の中で次のような問題を紹介しています。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 &\cdots \text{①}\\ xy = 42 &\cdots \text{②}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

　①を$y$について解いて②に代入すると，$x$についての2次方程式 $x^2−10x+40=0$ ができます。解の公式を使ってこの2次方程式の解を求めると，次のようになります。

$x = \dfrac{10 \pm \sqrt{-60}}{2}$

　この解を見て，ふしぎに思ったことはありませんか。解にふくまれる $\sqrt{-60}$ は，「2乗して−60になる数」を表しています。しかし，みなさんは，2乗して負になる数はないと学習しています。
つまり，私たちがこれまでに学習した数の範囲では，この方程式の解を表すことができないのです。

　カルダノは，3次方程式の解の公式を導く途中で，上のような2次方程式が出てくることを発見
しました。そして，「2乗して負になる数」を新しい数として導入する必要があると考えたのです。

　このような数は「虚数」と呼ばれ，$\sqrt{-1}$ を $i$ という記号で表します。当初，虚数は数学者たちに認められませんでしたが，ドイツの数学者ガウス(1777〜1855)の研究などを経て認められるようになりました。
現在では，宇宙の誕生の研究など，最先端の研究にも使われています。

　これまでに学習してきた方程式をふり返ってみると，1次方程式は，負の数や分数を使うことで解を表すことができました。2次方程式は，$x^2＝2$ のようなときに，解を整数や分数で表せなくなりますが，数の範囲を平方根にまでひろげれば，$\pm \sqrt{2}$ と表すことができました。このように，新しい数を認め，数の範囲をひろげることで，解ける方程式の範囲もひろげることができるのです。