$\sqrt{2}$ が無理数であるわけ

$1^２＝1$、$(\sqrt{2})^２＝2$、$2^２＝4$ だから、$1<\sqrt{2}<2$ となり、は整数ではない。

もし、「$\sqrt{2}$ が有理数である」と仮定すれば、分数 $\dfrac{a}{b}$ で表すことができる。

ただし、$\dfrac{a}{b}$ は整数でない分数で、これ以上約分できないものとする。

$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ の両辺を2乗すると、$2＝\left(\dfrac{a}{b}\right)^２$ ……①

$\dfrac{a}{b}$ は約分できないので、
　$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 = \dfrac{a \times a}{b \times b}$
も約分できない分数である。

すると、式①は、「整数2が、整数でない分数 $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$ に等しい」ことを示していることになる。このようなことはありえない。

これは、最初に「$\sqrt{2}$ が有理数である」と仮定したことが誤りであることから
生じたものである。

したがって、$\sqrt{2}$ は無理数である。