数学のことばに翻訳？

数と式 歴史

　方程式を利用して問題を解く場合，「方程式をつくる」という過程が大切です。このことに
ついて，イギリスの数学者であり，物理学者であるニュートン（1642〜 1727）は，『普遍算術』
という書物で，問題を解くには「それをふつうのことばから記号的表現（数学のことば）に翻訳
しなくてはならない」と述べています。この「翻訳」が，方程式をつくることを意味しています。
次の問題はその例です。

商人とお金

商人が，なにがしかのお金を持っていた。そのなかの
100フントのお金を彼は毎年，自分の家族の生活のために
費やし，残金とそれに残金の3分の1のお金を足して，
翌年に回した。3年たって彼は，最初のお金の2倍になったことを知った。最初の年に彼はいくら持っていたか。

　たとえば，ふつうのことばで「商人が，なにがしかのお金を持っていた」の部分は，数学のことばに翻訳すると「$x$」とすることができます。

　このように，この問題を，ふつうのことばから数学のことばに翻訳して解いてみましょう。

ふつうのことば数学のことば
商人が，なにがしかのお金を持っていた$x$
最初の年，100フントを消費したあとの残金$x-100$
残金と残金の3分の1を加えたあとの持ち金
翌年，再び100フントを消費したあとの残金
残金にその3分の1を加えたあとの持ち金
3年目に，100フントを消費したあとの残金
残金にその3分の1を加えたあとの持ち金
現在の持ち金は最初の2倍
答

答

ふつうのことば数学のことば
商人が，なにがしかのお金を持っていた$x$
最初の年，100フントを消費したあとの残金$x-100$
残金と残金の3分の1を加えたあとの持ち金❶
翌年，再び100フントを消費したあとの残金❷
残金にその3分の1を加えたあとの持ち金❸
3年目に，100フントを消費したあとの残金❹
残金にその3分の1を加えたあとの持ち金❺
現在の持ち金は最初の2倍❻


❶　$(x-100）+ \dfrac{1}{3} (x−100) = \dfrac{4}{3} x - \dfrac{400}{3}$


❷　$\dfrac{4}{3} x - \dfrac{400}{3} - 100 = \dfrac{4}{3} x - \dfrac{700}{3}$


❸　$\dfrac{4}{3} x - \dfrac{700}{3} + \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{4}{3} x - \dfrac{700}{3} \right)$
　$ = \dfrac{16}{9} x - \dfrac{2800}{9}$


❺　$\dfrac{16}{9} x - \dfrac{2800}{9} - 100 = \dfrac{16}{9} x - \dfrac{3700}{9}$


❻　$\dfrac{16}{9} x - \dfrac{3700}{9} + \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{16}{9} x - \dfrac{3700}{9} \right)$
　$ = \dfrac{64}{27} x - \dfrac{14800}{27}$


❼　$\dfrac{64}{27} x - \dfrac{14800}{27} = 2x$

　　 \begin{eqnarray} 64x - 14800 &=& 54x\\ 10x &=& 14800\\ x &=& 1480\\ \end{eqnarray}

最初の年に1480フント持っていた。

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