No.16 多角形の外角 授業例

学年 第2学年
実施時期 2学期11月
単元 4章1節 角と平行線(p.114)
配当時間 8時間(本時はその6時間目)
動画のダウンロード コンテンツのダウンロード 2.19 MB
動画のダウンロード 授業動画のダウンロード 4.46 MB
単元目標
  • 平行線の性質・条件,三角形やその他の多角形の性質,それらを論理的に筋道立てて考察することに関心をもつ
  • 図形のもつ数学的な美しさに気づき,図形の性質を直観的・帰納的な方法と演繹的な方法で考察する
  • 平行線や角,基本的な多角形の性質を用いて,図形の関係や角の大きさを求めたり,図形の性質を説明する
  • 角の名称や平行線の性質・条件,三角形や多角形の角の基本性質,三角形の合同条件などを理解する
本時の目標
  • 外角の和を求める公式を帰納的に導き,その性質を理解する
学習活動
  1. 外角の定義を知る
  • 「前の時間に内角を学習しましたが,今日は外角を学習します」
  • 「内角の外側のことですか」
  • 「外側全部ではないんだ。『多角形で,1つの辺とそのとなりの辺の延長とがつくる角』のことをいいます」
  • 「1つの頂点に2つずつできるね」
  • 外角の定義は,言葉では理解しにくいので図を使って説明し,補角の関係にあることを直観的に理解させる
  • 1つの頂点に2つの外角ができることを視覚的に理解させるために,それぞれ2色に塗り分け,その1つのグループを求めることが外角の和となることにつなげていく
  1. 外角の和の意味を知る
  • 「多角形の内角にはどのような性質があったかな」
  • 「$n$角形の内角の和は 180°×($n$-2) になります」
  • 「では,今日は何をしようかな」
  • 「外角の和の性質を調べる」
  • 「では,外角の和の性質を調べてみましょう。外角の和というときは,多角形の各頂点で1つずつつくった外角の和のことをいいます」
  • 内角と対比することで外角の性質に着目させる
  • 図上で外角に色をつけたりして,外角の和がどの角の和を示すのかを理解させる
  1. 外角の和を予想する
  • 「では,正方形の外角はそれぞれ何度になるかな」
  • 「みんな 90°」
  • 「では,外角の和は」
  • 「360°」
  • 「では,五角形,六角形などではどうだろうか」
  • 「450°」「540°」「360°」……
  • 簡単に外角の和が求められる正方形の外角から,その和を求めさせる
  • 動画で,正五角形,正六角形の外角の和を示すため,それにつなげるために正方形を扱う。その特殊性については,後に触れ,一般の四角形等については,後に追求する
  1. 動画を観察し,直観的に外角の和が一定であることを理解する
  • 「計算しても求められますが,図形で説明できないかな」
  • 「……」「くっつければ…」
  • 「いろいろな方法がありますが,そのひとつを動画でみてみましょう。みんなと同じ考え方かな」
    (動画をみる)
  • 「なるほど,360° かあ」
  • 「みんな 360° になるんだね」
  • 動画を観察し,直観的,帰納的に外角の和が一定で 360° になることを理解させる
  1. 一般の多角形の外角の和が 360° になることを理解する
  • 「でも,正五角形や正六角形だけなのだろうか,すべての多角形でもそういえるだろうか」
  • 「多分,できるよ」「やってみれば」
  • 「じゃあ,適当に多角形をかいて,外角をくっつけてみよう」
  • 「やっぱり,360° だ」
  • 「全員が 360° なら間違いなさそうだね」
  • 紙に多角形とその外角を描き,外角が分かるように色をつけたりした後に切り離し,それらを合わせると 360° になることを確かめる
  1. 多角形の外角の和に様々な方法があることを理解する
  • 「他に説明する方法はないだろうか」
  • 「離れてみると,内側の図形が小さくなって点になってしまい,そのまわりに外角が並ぶ」
  • 「図形の外側を回っていくと,ちょうど,一回りすると,全部で 360° 向きを変えたことになる」
  • 「内角と外角の和が 180° だから,$n$角形の内角と外角の和は,180°×$n$ それから,内角の和を引くと 180°× $n$?180°×($n$?2)=360°」
  • 無理に多くの方法を深く追求せず,直観的に理解にとどめ,様々な方法があることに気づかせ,図形の性質に興味・関心を持たせる程度とする
  1. 本時のまとめを行い,多角形の外角の和の性質への理解を深める
  • 「多角形の外角の和は,どんな多角形でも 360° になります」
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    • 動画を再び提示し,その性質への理解を深める